Корректная пунктуация: Следующий раз, когда от кого-то услышите: «Это не искусство и даже близко с ним не стоит!» — знайте, что на самом деле человек просто сбит с толку переменами.

Пунктуация верна, слово неважно лучше писать слитно. В определенном контексте, а именно если завалило и завалили — цитаты из предыдущих реплик, эти глаголы могут заключаться в кавычки.

Вот выдержки из справочника Д. Э. Розенталя.

Если указание на автора или на источник цитаты следует непосредственно за ней, то оно заключается в скобки, причем точка после цитаты опускается и ставится после закрывающей скобки... Заглавие произведения отделяется от фамилии автора точкой и не заключается в кавычки; точкой же отделяются выходные данные... Первое слово указания на источник цитаты пишется в этом случае со строчной буквы, если не является собственным именем... Если указание на автора или на источник цитаты стоит не непосредственно за ней, а помещается ниже, то после цитаты ставится точка.

Указаний на необходимость курсива в этих случаях мы не нашли.

Таким образом, корректно: Они прошли весь белый свет и видели такое, что тебе и не увидеть никогда (В. П. Аксёнов). Правда, порой белыми воронами возникали в нём гостиничные постояльцы (К. Булычёв). У Пульхерии Ивановны была серенькая кошечка (по Н. В. Гоголю).

У Пульхерии Ивановны была серенькая кошечка.

По Н. В. Гоголю

Точка ставится после кавычек, цитата оформлена верно.

Если в тексте перемежается внешняя речь (обращенная к собеседнику) и внутренняя (подумал про себя), то внешняя речь оформляется при помощи абзацного выделения, а внутренняя — при помощи кавычек. При этом прямая речь с кавычками оформляется по общим правилам:

• если прямая речь заканчивается точкой, точка ставится после кавычек;
• если прямая речь заканчивается вопросительным, восклицательным знаком или многоточием, знак пишется внутри кавычек, а точка после них не ставится.

Верно: «У меня! — услышал Горбун внутри голос своего сердца. — Ты влюблен в принцессу!» «Я? В принцессу? Глупости! Как могу я — такой страшный и мрачный — любить такую прекрасную Розу?» «Неужели кто-то полюбит такого уродливого горбуна, как я? — с горечью думал он. — А я сам смогу полюбить кого-то?» Он не знал ответа, до сих пор ему знакомы были только ненависть и зависть. От удивления Горбун застыл на месте и стоял столбом, не веря своим глазам: «Разве на свете бывает такая красота?!"

В этом предложении слова прежде всего не обособляются. Подробнее см. в "Справочнике по пунктуации".

Источник высказывания грамматически представляет собой часть сложного бессоюзного предложения, в связи с этим возможна постановка как запятой, так и тире. Отметим, что в указанных примерах сообщение передается не обязательно дословно, поэтому считать такие высказывания цитатами нельзя.

Если текст в скобках не отделен от абзаца, то точку обычно ставят после скобки: ...и я его очень любила (по тексту "Дневника" Юлии Петровой).

Но, поскольку в Вашем случае источник цитаты указывается на следующей строке (как, например, в эпиграфе), рекомендуем поставить точку после цитаты, а после скобок не ставить:

...и я его очень любила.

(по тексту "Дневника" Юлии Петровой)

Запятая перед многоточием или после него не ставится (многоточие поглощает запятую).

Фразеологизм – устойчивое сочетание слов, постоянное по своему составу и значению, воспроизводимое в речи как готовая единица. Иногда выделяют еще фразеологические выражения. Это членимые и разложимые словосочетания и предложения, значение которых складывается из значений составляющих их слов, но у них есть одно сходство с фразеологизмами – постоянство состава, воспроизводимость в речи в качестве готовых единиц. Таковы пословицы, поговорки, «крылатые слова», цитаты из известных художественных произведений.

Таким образом, в Вашем случае можно говорить о поговорке или о фразеологическом выражении.