Нет. Рождество – только о празднике рождения Иисуса Христа, о празднике рождения Богородицы: Рождество Христово, Рождество Богородицы.
Склоняется только слово день: день рождения, дня рождения, дню рождения и т. д.; во множественном числе: дни рождения, дней рождения, дням рождения и т. д.
Со строчной. Заглавная и прописная - это одно и то же.
Более корректен вариант с наступившим днем рождения.
Называть "новорожденного" именинником - ошибочно.
1. 1994-1997 год рождения.
2. 1991-1993 года рождения.
Запятые нужны.
В справочнике Д. Э. Розенталя сказано следующее. Обычно обособляются несогласованные определения, дополняющие или уточняющие представление о лице либо предмете, который сам по себе (без определения) достаточно конкретен, уже известен. В этой роли выступают имена собственные (они выделяют лицо-предмет из ряда подобных), названия лиц по степени родства.
Следует писать строчными: с днем рождения.