Правильно: влезать. Влазить – просторечие.
Верно: отрезать сыра. В разговорной речи также возможно: отрезать сыру.
Глагол бежать имеет окончания II спряжения во всех формах, кроме 3 лица мн. числа, где он имеет окончание I спряжения. В школьной практике этот глагол называют разноспрягаемым.
См. в Справочнике по фразеологии.
См. словарную статью:
Книжн. Обычно несов. Чаще 3 л. наст. вр. или прош. вр. Недосточно хорош, не удовлетворяет, не соответствует определенным требованиям. С сущ. неодуш.: проект, книга, настроение… оставляет желать лучшего.
Статья оставляет желать лучшего, ее необходимо доработать.
Иногда засядет и в месяц окончит картинку, о которой все кричат как о чуде, находя, впрочем, что техника оставляет желать лучшего… (В. Гаршин.)
Да и сам ассортимент, качество пищи в этом заведении оставляли желать лучшего. (Е. Попов.)
Корректно: Не хотел делать что-либо.
