В этом случае корректно: живем на «Мире», держит путь с «Мира».
Нет, в этом словосочетании прописные буквы не требуются.
Можно сказать, что учитель не вполне прав. Многие существительные с вещественным значением способны образовывать множественное число для обозначения сортов: вода — минеральные воды, масло — разные масла и т. п. См., например: Молочные блюда в монгольской кухне занимают очень большое место: сырые и сушеные твороги, кефиры... [Игорь Померанцев. Осенины. Разговор на пиру в вековом прототипе // Независимая газета, 30.10.1997]; ...забыть о жирных творогах, сметане, кефире и сливках; ограничить сахар и сладкое [Инфаркт: фаршированное сердце // Аргументы и факты, 2002.11.06] и т. п.
В данном случае можно повторить предлог в, можно не повторять. Ошибки ни в том, ни в другом случае не будет.
Правильно: чемпион мира, Кубок мира.
Правильно: более чем в 60 стран мира (например: по этой программе учебники русского языка направлены более чем в 60 стран мира), более чем в 60 странах мира (например: он уже побывал более чем в 60 странах мира).
Творительный падеж имени Кира - Кирой.
Правильно: быстро меняющийся мир.
Это тема для кандидатской диссертации, но не для ответа "Справочного бюро".
