Корректно написание с прописных букв: Дед Мороз.
В этом случае используется глагол спадать или его видовая пара спасть (см. значение 2 глагола спасть в «Большом толковом словаре»): мороз спадает (спадет), морозы спадают (спадут).
Оборот вести (здоровый или какой-либо еще) образ жизни корректен и зафиксирован в словарях. Сочетание вести (какую-либо) жизнь также существует и используется.
Кавычки не требуются.
Следует писать раздельно: формально обозначенный.
Правильно без запятой.
Это не вводная конструкция. Однако этот оборот обособляется, если имеет значение причины ("так как он был честным человеком, он рассказал...").
Фраза, при всей архаической стилистике, корректна.
Так сказать нельзя. Так как у существительных, употребляющихся только в форме мн. числа (часы, ворота, ножницы), нет категории рода, невозможно сочетание с ними ни слова оба, ни слова обе. Возможный вариант: я потерял и те и другие часы.
Кавычки нужны.
