Возможны оба варианта, использование родительного падежа соответствует более старой грамматической норме.
Ваш вопрос непонятен. Прилагательное теплое является определением к последнему дополнению из ряда однородных: продукты, одежду, бельё. Если к слову, входящему в ряд однородных членов, относятся зависимые слова, то вся группа таких слов (главное + зависимые) рассматривается как один компонент. При этом зависимое слово не меняет свою синтаксическую функцию, определение остается определением. В ЕГЭ и ОГЭ нет заданий, в которых требовалось бы некорректно охарактеризовать определение к слову из ряда однородных членов.
Если эти слова не употребляются как условное наименование, то верно писать: на дальнем Севере. Для того чтобы избежать путаницы, можно заменить прилагательное: на далеком Севере.
Если это только часть предложения, то верно: Как бы на тебя ни давили...
Верен только второй вариант.
Правильно слитное написание.
Нужен родительный падеж. См.: http://gramota.ru/spravka/letters/?rub=otr
Верно: не нужно обращать внимания...