Правильно: положить плитку. Слова покласть нет в русском литературном языке.
Правильно: положить в папку. Слова покласть нет в русском литературном языке.
Класть — общеупотребимое слово.
Второго указанного Вами слова в литературном языке не существует, использовать его — ошибка.
Правильно: клади (от положить – положи).
Возможно (при необходимости) выделение скобками.
В обоих случаях корректно слитное написание.
В этом случае сопоставляются две ситуации, сравнительный оборот можно развернуть в придаточное предложение, запятая перед ним нужна: Он хвастался ею, как [хвастаются] новым щенком.
Всегда правильно только класть.
Всегда верно: класть и положить.
Верно только "класть", "ложить" - это просторечие.
При наличии общего второстепенного члена предложения запятая перед союзом и ставится, если союз повторяется.