Корректно со строчной: московский кинокластер.
Пишется Забава Путятична, произносится [шн]. Ср.: Ильинична, Лукинична, Никитична и т. п.: в женских отчествах на -ична произносится [шн], но пишется чн. Написание Забава Путятишна возможно при намеренной передаче произношения на письме.
Замена прописной буквы на строчную не требуется. Правильно: Московские вузы ищут новых Ломоносовых.
Слово улица здесь лишнее. Правильно: Московский проспект.
Корректно: Московский регион.
Нет, корректна строчная буква: постриженная в московском Ивановском монастыре.
Правильно: стопятидесятилетие Московской консерватории, к стопятидесятилетию Московской консерватории.
Учитывая, что диаметр - это отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр, сочетание, названное Вами, плеонастично (лексически избыточно).
