Корректно: Опираясь на высказывания «живых звеньев», связывавших его с преподобным Паисием, – епископа Нектария, Е. Ю. Концевич, отца Адриана, отец Серафим писал… Запятая после слова Паисием закрывает причастный оборот, запятая после слова Адриана – деепричастный; второе тире после обособленного приложения опускается, т. к. по условиям контекста требуется запятая.

Пунктуационные ошибки есть. Кроме того, рекомендуем писать сначала имя, потом фамилию. (А если это официальный документ, то указываются имя и отчество, а не только имя.) Также обратите внимание, что учащихся вузов обычно называют студентами, а не учениками.

Корректно: Вас беспокоит Мария Иванова, мама студентки 5 курса факультета экономики Карины Ивановой.

Верно: ...тремстам тысячам долларов.

Употребление корректно. Такая поговорка действительно существует (нам приходилось слышать ее в таком варианте: являются только черти), этим хотят сказать, что использование глагола являться не всегда может быть уместно. Являться в значении 'быть, представлять собой' широко употребительно в канцелярской, деловой, а также в научной речи, поэтому в живой разговорной речи, при непринужденном общении, употребление этого глагола не всегда оправданно, он может придавать словам говорящего ненужную громоздкость, тяжеловесность, официоз (например, приведенное Вами предложение в живой речи лучше звучало бы так: материал... разработан современными учеными). Но не следует воспринимать эту поговорку как категоричный запрет на употребление глагола являться, всячески избегать этого слова тоже неправильно.

Нет, название медали такого типа не склоняется.

После прямой речи ставится тире, если прямая речь заканчивается многоточием: Отец Серафим меня напутствовал: «Съезди туда, съезди сюда…» – а по возвращении подробно расспросил обо всех местах, где мне удалось побывать.

Фамилия Квочка склоняется.