Да, мужская фамилия Кот склоняется.
Действительно, между частицей вот и междометием блин в составе нечленимого предложения запятую ставить не нужно.
Возможен такой вариант: Только достанешь пылесос из коробки, кот увидит – и бежать.
Слова "ну вот" (в значении "итак") могут выступать как вводные и обособляться.
Лучше так: Они были неправы - вот в чем проблема. Это был мой брат - вот кто это сделал.
Запятая не нужна.
Вы спрашиваете о синтаксическом разборе, поэтому аргументы из области того, что говорящий имеет в виду, недействительны. Говорящий своим ответом в самом деле сообщает о том, где кот, но делает это косвенным образом, полагая, что слушающий поймет: раз кот ест — значит, он на кухне у своей миски. Но это вывод слушающего из того, что сказано, и подменять собой члены предложения подобный вывод не может. Безусловно, ест — сказуемое.
Кстати, подобная экономия речевых усилий может быть и небезобидна. Если участники диалога находятся в некооперативных отношениях, то ответная реплика «Ест» может ввести собеседника в заблуждение: тот может подумать, что кот мирно ест из своей миски свой сухой корм, а на самом деле кот может доедать котлету, которую он утащил со сковородки собеседника (я с подобными разбойниками знаком, и о таких котах великолепно писал Паустовский). Последствия недоговоренности в таком случае могут быть весьма неприятны.
