Запятые нужны: Посмотрим, в чем дело, и напишем; Узнаем, в чем дело, и скажем.
Для обиходной речи это не ошибка. Но в юридическом языке используется именно второй названный Вами оборот речи.
Да, кавычки уместны.
Возможно как с двоеточием, так и без него (правильны оба приведенных варианта).
Возможны оба варианта. Первый стилистически нейтральный. Второй экспрессивный, фиксирующий интонационное разделение каждой части предложения, подчеркивающий параллелизм частей. Обратите внимание: если Вы выберете второй вариант, то в нем необходимо поставить тире, а не дефисы (Слово – держим, дело – делаем!).
Правильно: в том-то и дело.
Корректно: После того как тело увезли в морг, следователь приступил к опросу свидетелей.
Корректно: Многогранник — геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми (которые называются) гранями.
