Верно: Значительная часть учеников проводит время на открытом воздухе.
Это связано со сложившейся практикой письма.
Обстоятельство на какое-то время в общем случае не обособляется, так как не является уточнением: в предложении нет обстоятельства, которое оно уточняло бы. Вместе с тем его можно обособить для попутного пояснения или смыслового выделения — см. параграф 74 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.
Во втором предложении неверно использован деепричастный оборот: действие, которое обозначает деепричастие, не может относиться к слову игра.
Предложение "Деловая игра рассматривается как способ закрепления знаний" не является безличным. Это пассивная конструкция с подлежащим "деловая игра".
Следует писать с большой буквы: Они могут стать гостями первых в истории России зимних Игр.
Правильно: в Играх Содружества.
Возможен первый вариант. Или так: На это уходил целый день.
Запятая не требуется. В этом предложении деепричастие играя имеет значение образа действия (обучаемся музыке как?).
