Да, подо Львовом - корректно. Как и под Львовом.
Исторически это притяжательные прилагательные.
Мы уже отвечали на этот вопрос, обратитесь к архиву Справочного бюро.
Правильно: в г. Астане. Подробнее см. в «Письмовнике» на портале.
Обычно не склоняются названия на -и: из Чили, Тбилиси, Нагасаки.
Современная норма, зафиксированная на орфографическом ресурсе «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН, — Звездный городок.
Действительно, в "Справочнике издателя и автора" А. Э. Мильчина, Л. К. Чельцовой дана рекомендация употреблять сокращение г. (и полное слово город) ограниченно, преимущественно перед названиями городов, совпадающими с фамилиями людей, например г. Пушкин, г. Королев.
Однако на практике (в канцелярской речи) сокращение г. и полное слово город употребляются перед названиями всех городов, в т. ч. с формантами -бург, -град и -город, напр.: г. Волгоград, г. Санкт-Петербург, город Шлиссельбург, город Калининград.
Возможен как склоняемый, так и несклоняемый вариант. Подробно см. в Письмовнике.