Корректно: Государственного бюджетного учреждения «Дом социального обслуживания "Филимонки"».
Запятая не нужна.
Корректно: областная дума. В официальных названиях первое слово пишется с прописной буквы: Саратовская областная дума.
Правильно: 2-этажный дом.
Правильно: Дом культуры «Олимп».
В приведённом предложении деепричастный оборот тесно связан по содержанию со сказуемым и образует смысловой центр высказывания, а потому не обособляется (см. примечание 1 к параграфу 20.4 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя): Как узнать историю вашей семьи не выходя из дома?
Предложение корректно. Это нормальное употребление единственного числа в значении множественного.
В публицистическом тексте это сочетание уместно.
Корректно: должны соблюдать определенные правила санитарного законодательства по содержанию дома.
