Проигравших в этом споре нет. Согласно «Грамматическому словарю русского языка» А. А. Зализняка, названия Осло, Чикаго могут употребляться и как существительные мужского рода, и как существительные среднего рода. Мужской род обусловлен родом нарицательного существительного город, средний род – тенденцией относить к среднему роду иноязычные несклоняемые слова на -о.

Кавычки нужны. Что касается прописной Ф – вообще говоря, такое написание нарушает нормы русской орфографии: недопустимы слитные написания с одной прописной буквой в середине слова. Но сейчас в собственных наименованиях организаций, торговых марок подобные нарушения не редкость. Писать приходится в соответствии с официальным (задокументированным) названием, т. е.: «МегаФон».

В русском языке закрепилось ударение на первом слоге и в названии башни, и в фамилии ее создателя, хотя оно и не соответствует ударению во французском языке. В этом нет ничего удивительного: принятое в русском языке ударение в иноязычных именах собственных нередко отличается от ударения в языке-источнике.

Дать общую рекомендацию для всех подобных случаев затрудняемся: грамматические свойства названий веб-ресурсов, совпадающих одновременно с нарицательными существительными  (грамота) и доменными именами (gramota), пока что как следует не описаны языковедами. Думаем, что сочетания на Сетях.Нет, на Грамоте.Ру, с Вестями.Ру приживутся в русском литературном языке.

Согласно словарям, лисица – хищное млекопитающее сем. псовых с острой мордой и длинным пушистым хвостом; а также самка этого животного. Таким образом, слово лисица может обозначать и самку, и самца (т. е. является общим названием животного вне отношения к полу). Для обозначения самца лисицы есть также слово лис.

1. Между нарицательными именами существительными, сочетание которых выполняет определительную функцию при имени существительном, пишется тире: Система человек — машина; Отношения учитель — ученик; Проблема рыночные отношения — социальная справедливость. 

2. Если сочетание является официальным названием, то кавычки и заглавная буква уместны, ср.: Статья В. А. Сухомлинского «Педагог — коллектив — личность».

Корректно: 1. В г. Усть-Джегута. 2. В г. Мирном. 3. В г. Коврове. 4. В г. Кольчугино. 5. В г. Озеры. 6. В г. Александрове. 7. В г. Орле. 8. В г. Юрьеве-Польском. 9. В г. Гусь-Хрустальном.
О склонении географических названий см. в «Письмовнике».

Допустимо написание Великая теорема Ферма и Малая теорема Ферма с прописной буквы, поскольку это собственные названия теорем, хотя в специальной литературе малая теорема Ферма чаще всего пишется со строчной буквы. Остальные понятия следует писать со строчной буквы: метод факторизации Ферма, спираль Ферма, точка Ферма, числа Ферма.

Возможны оба варианта решения, оно зависит от задач пишущего. Но при употреблении имени мэра мы рекомендуем инициалы поставить до фамилии: по поручению мэра города Иваново И. И. Иванова.

Географические названия славянского происхождения, оканчивающиеся на -ово, -ево, -ино, -ыно, не склоняются в сочетании с родовым словом: города Иваново.