Название заведения нужно писать в соответствии с учредительными документами. А так как слово кофе?культ словарями не зафиксировано и подпадает под разные орфографические правила, то возможны и разные варианты написания. Связано это с тем, что часть кофе допускает несколько трактовок: 1) как часть с соединительной гласной е, 2) как первый компонент в сочетании существительного с приложением, 3) как сокращение слова кофейный. Возможность неоднозначной трактовки приводит к возможности применения разных правил.

Сложные существительные, содержащие соединительную гласную на стыке частей, пишутся слитно, например: паровоз, бактерионоситель, птицеферма, вишнеслива, волколис, религиоведение, музееведение. Этому правилу подчиняются слова кофеварка, кофемашина, кофемолка, кофезаменитель. 

Сложные существительные и сочетания с однословным приложением, если в их состав входят самостоятельно употребляющиеся существительные и обе части или только вторая часть склоняются, пишутся через дефис, например: альфа-частица, баба-яга, бас-гитара, бизнес-тур, гольф-клуб, шоу-бизнес, а также кофе-пресс, кофе-автомат, кофе-брейк, кофе-пауза, кофе-порошок, кофе-суррогат.

Сложносокращенные слова пишутся слитно, напр.: главбух, госзаказ, детсад,  домработница, жилплощадь, завскладом, канцтовары, спорткафе. Ср.: кофейная машина – кофемашина.

Новым словам приходится встраиваться в эту систему орфографических закономерностей. По первому и третьему правилу можно написать кофекульт, по второму – кофе-культ. А ведь еще культ может стать собственным названием кофе (кофе «Культ») или видом кофе (кофе культ).

Указанная запятая не нужна. Обратите внимание, что часть и её руки помахали детям кажется очень странной.

См. ответ на вопрос № 246836.

Если официальное название лекарства употребляется с родовым словом (лекарство, препарат и т. д.), то оно пишется в кавычках с большой буквы и не склоняется: Применение препарата "Флемоксин".

Если возникает необходимость написания подобных прилагательных с прописной буквы, то слитное написание меняется на дефисное. Правильно: Северо-Кавказский военный округ. Однако Дальневосточный пишется слитно, т. к. существительное восток не является именем собственным.

Предпочтительно здесь: согласились, пришли. Обратите внимание, что слово "пара" в значении "несколько" - просторечное. Подробные рекомендации Вы найдете в рубрике нашего портала "Письмовник": Единственное и множественное число сказуемого.