В каком значении употребляется это слово? Если оно образовано от история с помощью первой части сложных слов мульти-, обозначающей множественность предметов или действий, вносящей значение «множественный», правильно: мультиистория. Если же это сложносокращенное слово от мультипликационная история, правильно: мультистория. Менять и на ы не требуется: буква и сохраняется после первых частей сложных и сложносокращенных слов.
Возможны варианты. Лучше: озвучивание.
Это неудачная формулировка. Обычно говорят: плодотворное сотрудничество.
Правильно: уполномочивает.
В функции определения оборот обособляется.
Фраза некорректна. Можно написать так: Получение прибыли с наименьшими затратами - задача всех предприятий отрасли.
Верно: астанский (от Астана).
Оба варианта верны.
