Возможны оба варианта, однако по представленному фрагменту сложно судить: вероятно, предложение следует перестроить, но для этого необходим более широкий контекст.

Не следует смешивать географические названия «официальные» и образные. Правило, которое Вы приводите, касается собственно географических названий: пик Пионеров – это не образное, переносное название горы, а ее действительное, реальное наименование (так она и будет обозначаться на географических картах, в отличие от города Иваново, который, понятно, ни на одной карте не будет обозначен как город невест). Поэтому аналогии между пиком Пионеров и Городом невест быть не может; применительно к образным названиям стран, городов действует другое правило: в таких названиях с прописной буквы пишется первое слово.

Оба варианта корректны, но их употребление зависит от контекста: 1. Торт для праздника — это выражение подчеркивает, что торт предназначен специально для какого-то праздника. Оно указывает на целевое использование торта. 2. Торт на праздник — это выражение подчеркивает, что торт будет подан или использован на определенном празднике. Оно указывает на время или место, когда торт будет представлен или съеден. Таким образом, выбор между предлогами "для" и "на" зависит от вашего намерения акцентировать внимание на назначении или времени подачи торта.

Насколько можно судить вне контекста, слово тогда является общим элементом для двух частей сложносочиненного предложения, поэтому запятая между ними не требуется.

Варианты "экспансия России" и "экспансия в Россию" различаются по смыслу. Трудно судить о правильности, не зная контекста и требуемого смысла фразы.

Запятая не нужна. Не разделяются запятой выражения с глаголом хотеть, образующие цельные по смыслу выражения, ср.: делаю что хочу, приходи когда хочешь.

Что касается написания, оба слова верны. О правильности употребления и о возможности взаимной замены данных терминов мы, к сожалению, судить не можем.

Это исторические чередования д/ж (редкий — реже, сидеть — сижу, еда — сыроежка); д/ж/жд (родить — рожать — рождение).

Глагол видеть и образованные от него глаголы (в т. ч. увидеться) являются глаголами-исключениями и относятся ко второму спряжению: увидимся, увидишься, увидитесь, увидится, увидятся.

Вопрос непростой. Судить о наличии или отсутствии сравнения можно, лишь имея перед глазами контекст. Но, действительно, отсутствие сравнения дает повод не ставить запятую.