Слово Олимпиада в знач. 'Олимпийские игры' пишется с прописной буквы: зимняя Олимпиада, домашняя Олимпиада. Но: Белая олимпиада (образное название).
Слово олимпиада в знач. 'соревнования, состязания в чем-либо' пишется строчными: домашняя олимпиада по физике.
Корректно: ...будут приоритетными, будут иметь приоритет.
О выставке книг и иллюстраций: книжно-иллюстративная.
Грамматически корректно: уравнение имеет n+1 решение, n+1 режим.
Сочетание избыточно.
В «Грамматическом словаре русского языка» А. А. Зализняка формы жажди, жаждите приведены в качестве нормативных.
Определительный оборот осложнен обстоятельственным значением, поэтому обособляется.
Семантические отличия есть, Вы можете их определить по толковым словарям (например, на нашем портале есть "Большой толковый словарь русского языка"). Что Вы называете закономерностями в способе употребления?
Такое сочетание существует (как историческое наименование), хотя в современном русском языке выглядит устаревшим.
Лучше: не имеет окраски.