С прописной буквы пишутся все слова (кроме служебных) в официальных названиях существующих государств и государственных объединений. Государства Российская империя в настоящее время не существует, это исторический термин, поэтому с прописной пишется только первое слово. Ср.: Королевство Испания, Соединенное Королевство (официальные названия современных государств), но: Французское королевство, Неаполитанское королевство (исторические названия); Республика Кипр, Итальянская Республика, но: Венецианская республика, Новгородская республика. Правильно: Российская империя (а также Римская империя, Османская империя, Британская империя и т. п.).
Эти термины обозначают речевую избыточность. Тавтология (от греч. tauto – то же самое + ...логия) – это употребление в пределах одного или соседних предложений однокоренных или близких по звучанию слов. Плеоназм [от греч. pleonasmós – излишество] – это повтор смыслов, выраженных разнокорневыми словами. Спросить вопрос – это тавтология, памятный сувенир – это плеоназм. Если тавтология и плеоназм используются намеренно для создания какого-то стилистического эффекта, то их нужно считать средствами художественной выразительности (Искатель новых впечатлений, Я вас бежал, отечески края; Я вас бежал, питомцы наслаждений, Минутной младости минутные друзья... [А. С. Пушкин]). Если повторы непреднамеренные, не оправданные стилистическим контекстом, то это речевые ошибки (Новое оборудование нужно использовать с большей пользой).
Предпочтительно: искать счастья.
Это отглагольное прилагательное, образовано от глагола зыбить.
При союзах не только… но и, не столько… сколько и др. (содержащих оттенок противопоставления) сказуемое обычно согласуется с ближайшим из однородных подлежащих.
Верно: Дизайн флаконов духов оценивало не только жюри, но и все покупатели.
Первая часть сложных слов видео... пишется слитно. Второе слово из Вашего вопроса непонятно, к сожалению.
Запятая стоит верно.
У этих прилагательных нет краткой формы.
Согласно орфографическому словарю, верно: кеб, кебмен. Написание кэб фиксируют некоторые толковые словари, но в вопросах правописания следует ориентироваться на орфографические.
