«Большой орфоэпический словарь русского языка» фиксирует оба равноправных варианта: в се́ти и в сети́.
Да, это тавтология. Фраза некорректна, надо ее править.
Это не тавтология, но принято избегать такого повтора "уважительности".
Да, словосочетание «выездной кейтеринг» — это тавтология.
Это тавтология. Можно сказать: сделать подарок кому-либо; подарить кому-либо что-либо.
Это тавтология (происшествие произошло), однако ошибкой такое сочетание не является.
Датировать датой - тавтология (лексическая ошибка). Корректно: письмо, датированное вчерашним днем.
Выражение бытовой быт содержит лексическую ошибку. Это тавтология, повтор однокоренных слов.
Это сочетание содержит тавтологию (тавтология – неоправданное соседство однокоренных слов) и нуждается в правке.