Правильно: Страшный суд. См.: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011.
При наличии в конструкции слов вместе, совместно употребляется форма единственного числа сказуемого: Компания А совместно со страховой компанией В признана победителем открытого конкурса.
Корректно: В девяти случаях проведено административное расследование.
В именительном падеже.
Запятая нужна в обоих примерах.
Смысловой разницы нет (=троюродный). Внучатный некоторыми словарями маркируется как устаревший вариант.
Верно: в месяце, следующЕм.
Допустимы оба варианта, более предпочтительным представляется такой вариант: они часто не проверяют состояние креплений. О выборе падежа существительного при отрицании см. «Письмовник».
Сегодня нормативно: между чем. Между чего - устаревающий вариант.
Корректно согласование в м. р.
