Это сочетание пишется с прописной буквы, если речь идет о Куликовской битве. Если же оно используется во фразеологическом значении 'большой беспорядок' или 'драка', то правильно написание со строчной буквы.
Верно: китайский Новый год.
Написание объясняется историей слова (шлифовать – от польского szlifovać, которое восходит к немецкому schleifen 'точить, шлифовать'), а проверяется в словарном порядке (по орфографическому словарю).
Правильно: дебиторская.
Пишется со строчных букв: ближнее зарубежье.
Слово Интернет пишется с большой буквы как самостоятельное существительное: сеть Интернет.
В составе сложных слов пишется со строчной: интернет-провайдер.
Кавычки не нужны.
Если имеется в виду дом, в котором жил Пушкин, то правильно с маленькой: дом Пушкина.
Слово адвент пишется строчными буквами.
Написание проверяется в словарном порядке.
