Правильно: у нее день рождения.
Правильно: на день рождения.
Правильно: у Даши день рождения.
Корректно: неиспользованный отпуск в количестве 1 календарного дня.
Это устойчивое сочетание, состоящее из двух глаголов.
Все эти сочетания встречаются в речи лингвистов. Первое наиболее употребительное, соответствует строгой литературной норме, второе встречается реже, но неправильным его считать нельзя (напр.: Достаточно вспомнить, скажем, что для поэзии, особенно XX века, вопрос, писать с дефисом или слитно очередной поэтический неологизм, неизменно вызывал споры и разногласия [В. Елистратов. Тест и культура речи // «Наука и жизнь», 2009]). Последнее воспринимается как несколько сниженное, разговорное.
Русское написание не соответствует латинскому первоисточнику. Такое часто бывает с заимствованиями.
Да, грамматически так. Лучше написать: хорошее гигиеническое состояние...