Да, деепричастие летя существует, о чем свидетельствует большое количество примеров его употребления.
Нормативными словарями современного русского языка зафиксировано только одно значение прилагательного признательный: "испытывающий признательность к кому-, чему-л.; благодарный; выражающий признательность". Однако сочетание признательные показания можно считать терминологическим, профессионально закрепленным.
Да, верно: искать маслята. Ср.: искать подберезовики (не подберезовиков).
Правильно: у Марка Твена.