Корректно: Будем встречаться раз в месяц. Или: Встретимся через месяц, в следующем месяце.

Такие сокращения не являются общепринятыми, они будут непонятны читателю. Наша рекомендация — не сокращать.

Определение входит в обстоятельственную группу в бесконечном космосе, но внутри этой группы оно является именно определением. При желании графический разбор можно усложнить: подчеркнуть всю обстоятельственную группу как обстоятельство, а определение — вдобавок еще и как определение.

Ломать голову над тем, определением или дополнением является распространитель, который способен ответить на разные вопросы, непродуктивно. Лучше договориться, что бывают синкретичные распространители, совмещающие функции определения и дополнения. Пирог с капустой — это как раз такой пример. Как существительное, пирог автоматически разрешает смысловой вопрос какой?. Но мы хорошо знаем, что пироги обычно пекут с начинкой, поэтому вопрос с чем? абсолютно легитимен. (Не случайно, когда на улицах торговали с лотков пирожками, продавщицы без конца отвечали на один и тот же вопрос: С чем у вас пирожки? — и никому не приходило в голову спросить Какие у вас пирожки?.) Суть дела здесь состоит в том, что в таких случаях дополнение подается в оболочке определения. Ведь на вопрос какой? можно ответить десятком других способов (слоеный, румяный, аппетитный, горячий, мясной). Здесь же выбирается вопрос с уточнением: какой, с чем?. Поэтому и характеризовать распространитель лучше как совмещающий признаки несогласованного определения и косвенного дополнения, но если выбирать однозначное решение, то — как косвенное дополнение.

Что же касается второго примера, то здесь ситуация несколько иная. При обычном употреблении глагол танцевать не предполагает распространителя, отвечающего на вопрос с чем?. Можно танцевать как, с кем, где — это обычные распространители к этому глаголу. Поэтому при обычном употреблении предпочтительно видеть в существительном с предлогом обстоятельство.

Однако в употреблении специальном — например, в сфере художественной гимнастики, циркового искусства и т. п. — танец с чем (с лентой, с саблями, с булавами) представляет собой обычное для речи этой сферы управление, и поэтому в этой сфере вполне законным будет вопрос типа С чем она сегодня танцует?. Если предложение с этим словосочетанием взято из речи в такой сфере, то целесообразно видеть в распространителе косвенное дополнение.

Общее правило очень простое: к зависимому компоненту надо ставить смысловой, а не формальный вопрос. То есть это должен быть вопрос не к форме зависимого слова, а от смысла главного слова. Если смысловой вопрос совпал с вопросом к форме зависимого слова (то есть с падежным или предложно-падежным вопросом) — значит, перед нами дополнение.

Значение этого выражения складывается из значений составляющих его слов. См.:

Большой толковый словарь русского языка

КОНФЛИ́КТ, -а; м. [лат. conflictus - столкнувшийся]. 1. Столкновение противоположных интересов, взглядов, устремлений, нравственных позиций; серьёзное разногласие, острый спор. Семейный к. Вступить в к. с окружающими. Уладить к. Избежать конфликта. Социальные конфликты. Межличностный к. (серьёзное разногласие между отдельными людьми, возникшее в процессе их социального и психологического взаимодействия). К. интересов (о личной заинтересованности должностного лица в принятии им выгодного для себя решения). 2. Резкое осложнение в международных отношениях, способное привести к военному противостоянию. Пограничный к. Урегулирование международных конфликтов. Военный к. (форма разрешения межгосударственных или внутригосударственных противоречий с применением военной силы). Вооружённый к. (вооружённое столкновение ограниченного масштаба между государствами или противостоящими сторонами в пределах территории одного государства). Межнациональный к. (одна из форм отношений между национальными общностями, характеризующаяся состоянием взаимных претензий, имеющая тенденцию к нарастанию, вплоть до вооружённых столкновений). Региональный к. (проявление в острой форме на региональном уровне противоречий политического, экономического и идеологического характера между странами). 3. Противоречие, противоборство между изображёнными в художественном произведении характерами или сторонами одного характера, служащее основой развития действия. Художественный к. Драматический к. Конфли́ктный, -ая, -ое. К-ые отношения. К-ая ситуация. К. вопрос. К-ая комиссия (комиссия для разрешения конфликтов между администрацией и работниками предприятия, учреждения и т. п.).

Большой толковый словарь русского языка

ПОКОЛЕ́НИЕ; ПОКОЛЕ́НЬЕ, -я; ср. 1. Родственники одной ступени родства по отношению к общему предку (предкам). В доме живёт три поколения семьи Кузнецовых. Инженер во втором (третьем) поколении (по отношению к своим ближайшим предкам). 2. Одновременно живущие люди (особи) приблизительно одного возраста. Подрастающее, современное п. Военное п. Ребята моего поколения. Представитель, человек прошлого поколения. Подрастает новое, замечательное п. Преемственность поколений. Молодое, старшее п. (разг.; люди близкого возраста). 3. кого или какое. Группа людей, близких по возрасту, объединённых общей деятельностью, общими интересами. Выросло новое п. учёных, лётчиков, руководителей. Этот опыт будет изучаться последующими поколениями. 4. Серия (приборов, механизмов) в её отношении к предшествующим или последующим сериям. Станки, техника нового поколения. Из поколе́ния в поколе́ние; от поколе́ния к поколе́нию идёт (передаётся, наследуется и т. п.) что. 1. По наследству от родителей к детям, от старших к младшим. 2. По традиции от старших к младшим.

К сожалению, окончание притчи нам неизвестно.

Оба варианта будут верными, но один из них должен употреблятсья последовательно по всему тексту.

Запятая разделяет части сложного предложения (здесь "что" - самостоятельное неполное предложение, "что будем делать").

Приведенные сокращения вряд ли будут использоваться в официальных документах. В остальных случаях склонять корректно.

Если эти слова не согласуются грамматически с остальными словами в предложении, то кавычки будут уместны.