Правильно: Островский район, хотя город Остров. Ср.: Белгород, но Белгородская область. Русский язык не любит, когда после ударного слога остается много безударных.
Ответ на Ваш вопрос содержится в «Русском орфографическом словаре» под ред. В. В. Лопатина и О. Е. Ивановой (М., 2023).
Это калька с английского, и она еще не вполне вошла в русский язык. Мы не рекомендуем использовать слово активность во множественном числе.
Правильно: чирлидинг. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
Правильно: водо-водяной. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
Правильно: папиллома-вирусный. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
Словарной фиксации для этого слова нет. После русской приставки пред-, имеющей значение 'ранее чего-либо', корректно написание корня с ы: предымплантационный. Ср.: предынфарктный.
Правильно: лыжероллерный. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
Академический «Русский орфографический словарь» (4-е изд. М., 2012) фиксирует написание, не противоречащее ГОСТам. Словарь дает: гнутоклееный, фенолоформальдегидный. Эти варианты и следует использовать.
Такая фиксация – в «Русском орфографическом словаре» РАН, электронная версия которого представлена на нашем портале. Женский род – по-видимому, под влиянием русского слова игра.