В обоих случаях должно писаться О: корябать, накорябать. Это однокоренные слова (глаголы, образующие видовую пару), они должны писаться единообразно. К сожалению, в "Толково-словообразовательном словаре" Т. Ф. Ефремовой эта норма нарушается.
При официальном титуловании правильно написание с прописной, в остальных случаях – со строчной.
Тренировка - от глагола тренировать. В свою очередь, этот глагол является заимствованием, гласная И пишется в соответствии с написанием слова в языке-источнике.
См. здесь.
Вы всё написали правильно.
Следует писать со строчной буквы: международный гимн студентов.
Существительное митрополит (титул духовного лица) пишется строчными буквами.
В этом случае кавычки уместны. Но без кавычек пишется: икона Софии Премудрости Божией.
Название компании пишется в кавычках.
Как правило, индекс пишется без пробелов.
