Возможны оба варианта; словари отмечают, что предлог ко употребляется со словом день в значении приуроченности к какому-нибудь событию: подарок ко Дню учителя, предлог к – без значения приуроченности.
Фамилия должна склоняться. Правило см. в «Письмовнике» (пункт 13.1.11).
Если определение (обычно обособленное) стоит после счетного оборота, то чаще оно ставится в форме именительного падежа множественного числа. Таким образом, предпочтительно: три файла, упомянутые...
Кавычки нужны.
Кажется, слово "вопросы" здесь лишнее. Просто: в своей компетенции или в рамках своей компетенции.
В разговорной речи: по десять раз на дню. Стилистически нейтральный вариант: по десять раз в день.
Верно: здание... расположенное.
Такое употребление возможно как шутка, как языковая игра.
Правилен второй вариант.
Корректно: По прохождении всех установленных законом процедур лечебное учреждение будет введено в эксплуатацию.
