Запятая не нужна, если части что его мандат имеет свободный характер и он не должен оказывать помощь своим избирателям являются однородными придаточными частями (в этом случае после союза и можно вставить слово что).

Внешние враги. См., например: Страна, раздираемая на части внутренними противоречиями и внешними врагами, шла к неминуемой гибели [Т. Дорошенко. Преодоление «великой разрухи» русского государства. Ополчение 1611 и 1612 годов // «Наука и жизнь», 2006].

В этом предложении основу составляет только глагол не позволю. Инфинитив отзываться является дополнением, а не частью сказуемого, т. к. у глаголов не позволю и отзываться разные субъекты действия: (я) не позволю (кому-то) отзываться. 

Слово месяц в русском языке употребляется в значении 'лунный диск или его часть' (любая, не обязательно одна четвертая). О луне в первой четверти можно сказать молодой месяц. А полумесяц – ''неполная луна, лунный серп'.

В «Русском орфографическом словаре» (4-е изд., М., 2012) уже зафиксированы слова с первой частью хеш... (передающей англ. hash): хеш, хеширование, хеш-код. Кроме того, пишется кеш (не кэш), флеш (не флэш). По аналогии: хештег.

Тавтология может быть не только ошибкой, но и стилистическим приемом (используется для акцентирования того понятия, которое заключено в корневой части повторяющихся слов). В приведенном Вами примере такая тавтология как фигура речи вполне допустима.

Запятая не нужна. Не обособляются одиночные деепричастия, непосредственно примыкающие к глаголу-сказуемому и близкие по функции к наречиям образа действия. Очень часто такие деепричастия можно заменить сочетанием предлога с существительным, ср.: поздравил с улыбкой.

Форма творительного падежа этих названий существует, но не вызывает вопросов по написанию и произношению, поэтому не указана в словарях.

Верно: Кемью, Томью, Пермью.

Места, где сгибаются пальцы, называют суставами, костные части называют фалангами.

Пожалуйста – наиболее распространенный и стилистически нейтральный вежливый ответ на благодарность. Не за что – разговорный ответ на благодарность, часто имеющий целью принизить говорящим значимость своей услуги, оказать которую ему якобы не составило никакого труда.

Наречия такого типа в словарях часто не фиксируются. Нужно искать прилагательное, от которого интересующее Вас наречие образуется. См. словарную фиксацию.

В приведенном Вами предложении лучше заменить слово двукратно на сочетание в два раза.