Посмотрите список книг для детского чтения, составленный преподавателями школы для одаренных детей № 1199 г. Москвы («Лига Школ») при участии самих школьников и их родителей. В этом списке много интересных книг.

В данном случае слово лига корректно употреблять в родительном падеже: топ-5 лиг.  
Чтобы упростить конструкцию для чтения и понимания, можно её переформулировать. Вариант: Он способен заиграть в пяти лучших лигах Европы. 

Здесь следует выбрать вариант Б. В русском языке есть крылатое выражение шемякин суд, которое означает 'неправый, несправедливый суд'. Оборот восходит к имени галицкого князя Дмитрия Шемяки, который в гражданских делах попирал справедливость и древние уставы; именно он в 1446 году, ослепив князя Василия Темного, овладел его престолом. Позднее была написана сатирическая «Повесть о Шемякином суде», которая пользовалась на Руси большой популярностью.

В названии ошибка. Существуют и фиксируются словарями оба слова: магниторезонансный (но оно пишется слитно) и магнитно-резонансный (через дефис). Второе употребляется чаще. 

Провожу – форма глагола проводить, проведу – форма глагола провести. Оба слова есть в русском литературном языке, у них разное значение: проводить – расставаясь с кем-л., пройти вместе до какого-л. места (я не хочу так быстро с тобой расставиться, давай провожу до остановки); провести – ведя, сопровождая или направляя, помочь, дать возможность пройти, проехать (вы можете заблудиться в нашем микрорайоне, давайте я вас проведу до остановки).

Слова "можно сказать" нужно обособить.

В русском языке слова бакалаврат не существует, есть только слово бакалавриат.

Согласно грамматическим нормам русского языка фамилия Соткилава склоняется (и мужская, и женская). Не могли бы Вы указать выходные данные хотя бы одного из тех словарей, в которых утверждается обратное?

Пунктуация верна. Перед союзом И не ставится запятая, поскольку в начале предложения есть слова, относящиеся к двум частям сложного предложения: по вечерам.