Фамилия Иволга должна склоняться: у Ивана Иволги, о Елене Иволге.
Мужская фамилия Шлегель склоняется: Шлегелю Ивану. Женская не склоняется: Шлегель Ирине.
Выбор формы зависит от смысла предложения. Например, верно: О назначении Ивана Иванова исполняющим обязанности...
Да, эта фамилия склоняется и в женском, и в мужском варианте: Марии Плюты, Ивана Плюты.
Фамилии, оканчивающиеся на согласный, склоняются, если принадлежат мужчинам, и не склоняются, если принадлежат женщинам: Ивану Кнышу, Елене Кныш.
Это существительное соотносится по смыслу с прилагательным компанейский.
Большой толковый словарь
1.
Любящий быть в компании, общительный. Он человек к.
2.
Одинаковый для всех участников. На компанейских началах.
Если эти слова употребляются как часть официального названия государства, правильно с прописных, например: против Исламской Республики Иран. Если же они выступают в обобщенном значении 'форма государственного устройства', следует писать строчными, например: он выступал против исламской республики, за исламскую монархию.
Да, в начале предложения следует использовать прописную букву.
