Корректен вариант с обособлением деепричастия: Учимся говорить, играя!
Оценить корректность этого выражения вне более широкого контекста невозможно.
Вопрос непонятен: существительное токарь мужского рода и глагол подумал мужского рода. В чем противоречие?
Так говорить, разумеется, можно, но следует иметь в виду, что уточнение лично подчеркивает особую роль говорящего.
Верно: с наки́дом.
Смысл этого предложения не ясен, поэтому оценить его как правильное невозможно.
Да, среди некоторой части носителей языка распространено мнение, что нельзя говорить опять, надо говорить снова (в результате чего появилось расхожее выражение не опять, а снова). Чем это мотивировано, сказать сложно. Другие подобные замены (например, последний – крайний, садитесь – присаживайтесь) легко объяснимы (см. «Азбучные истины»). Можно предположить, что у некоторых носителей языка слово опять по каким-либо причинам вызывает негативные ассоциации.
Тем не менее в словарях русского литературного языка слова опять и снова зафиксированы как стилистически нейтральные и общеупотребительные, одно толкуется через другое: опять – 'еще раз, снова'; снова – 'еще раз, опять'. При этом слова опять и снова взаимозаменяемы не в любых контекстах. У наречия снова есть оттенок значения 'заново, с самого начала'; наречие опять употребляется в просторечии в знач. 'также (еще), тоже, к тому же, кроме того'.
Здесь нет каких-то особых окончаний, просто диалектные особенности произношения гласных звуков.
Глагол впоймать не входит в состав современного русского литературного языка; глагол словить входит, но маркируется словарями как разговорный. Стилистически нейтрально, общеупотребительно: поймать, ловить.
Дать что – полный охват предмета действием, дать чего – частичный охват предмета действием. Ср.: дай мне все деньги, которые у тебя в кошельке и дай мне денег на дорогу (немного, чтобы хватило).
