В справочнике Д. Э. Розенталя «Управление в русском языке» дана такая рекомендация: свидетельство чего  — при выражении зависимого слова существительным; свидетельство чему — при выражении зависимого слова указательным местоимением. Поэтому корректно: Яркое свидетельство тому — успешное проведение мероприятия.

СВИДЕ́ТЕЛЬСТВО [факты, обстоятельства, подтверждающие, удостоверяющие что-л.] — 1. чего (при выражении зависимого слова существительным). Свидетельство наших успехов. 2. чему (при выражении зависимого слова указательным местоимением). Любишкину с немалым трудом удалось увести корову, свежая царапина на щеке была тому свидетельством (Ш.).

В предложениях 1, 2 и 4 вместо тире предпочтительно поставить двоеточие, поскольку это бессоюзные сложные предложения, в которых вторая часть поясняет то, о чем говорится в первой части. Обратите внимание, что в предложении 4 слово несколько должно находиться в винительном падеже.

Предпочтительнее видеть здесь два словосочетания: 1) стояло высоко; 2) высоко над горизонтом.

Вариант 1) стояло высоко; 2) стояло над горизонтом хуже, потому что существительное с предлогом над распространяет именно наречие высоко, чем и объясняется порядок слов.

Слово бедный исконно русское и общеупотребительное. Само по себе оно не обладает эмоционально-экспрессивной окраской (о чем, в частности, свидетельствует отсутствие при нем стилистических помет в толковых словарях), но в силу своего значения оно может участвовать в создании определенной эмоциональной окраски контекста.

Вы правы: если фамилия употребляется в тексте, написанном на русском языке, она изменяется (или не изменяется) в соответствии с законами русской грамматики. Но в данном случае спорить не о чем: все фамилии, кончающиеся на а, которому предшествует гласный, в русском языке несклоняемы.

Поскольку прилагательное зависит от существительного, оно согласуется с ним в роде, числе и падеже: на 0,3 (чего?) пункта (какого?) процентного. Таким образом, и существительное, и прилагательное при дробном числительном ставится в форме единственного числа родительного падежа: на 0,3 процентного пункта.

Первая форма неправильна, вторая правильна. Притяжательные прилагательные, заканчивающиеся в форме им. падежа ед. числа на -ий, в остальных формах имеют основу на ь, окончания можно проверить по окончаниям местоимения чей. Посмотреть таблицы склонения для притяжательных прилагательных можно в учебнике Е. И. Литневской. 

Предложение нуждается в изменении порядка слов: дополнение у родственников нужно поставить ближе, чем обстоятельство в квартире, к причастию приобретен: Пейзаж приобретен у родственников И. Э. Грабаря в квартире художника по Ломоносовскому проспекту в г. Москве. Обратите внимание, что приложение — название города склоняется.

Общепризнанной этимологии у слова балабол нет, поэтому однозначно ответить на вопрос, почему закрепилось написание с двумя а, невозможно. Слово балабол сопоставляется с русским диалектным балабон ‘пустозвон; колокольчик’, чеш. blabol ‘болтовня’. Предполагается влияние слова баять на возможное звукоподражательное болобол, связанное с удвоением корня *bol-bol-.