Выражению посвящена статья Е. Мельниковой «Мне это откликается: новое управление?» в свежем номере журнала «Русская речь». Более подробного ответа на Ваш вопрос не найти. Автор пишет: «Рассмотренная конструкция представлена главным образом в разговорной речи. Новое значение глагола откликаться и его новое управление не фиксируются нормативными словарями. Результаты влияния разговорной речи на литературный язык, по мнению Л. П. Крысина, „нередко ... оцениваются как нарушение традиционной синтаксической нормы, но в них можно видеть и зарождение неких новых тенденций в построении высказывания“».

Исторически в слове препятствие выделяется приставка пре- со значением, близким к значению приставки пере- (у этой приставки есть значения перехода, передачи, превращения, преграды, деления надвое, взаимного действия), этим и объясняется написание с буквой е. Полный корень, представленный в этом слове (тоже с исторической точки зрения), — пин/пн/пя/пон: запинаться (препятствие, препинание), запнуться, запятая, запонка (препона).

Однако в современном русском языке приставка в слове препятствие уже не выделяется. Разбирая это существительное по составу с точки зрения современного языка, мы должны выделить корень препятств-.

Да, этот предлог возможен.

(Пунктуация и управление в русском языке. Д.Э. Розенталь)

Возможно: потребовал от водителя; потребовал, чтобы водитель остановился.

Управление в русском языке

В этом сочетании избыточности нет. См. толкование слова в «Большом толковом словаре русского языка» под ред. С. А. Кузнецова. Г. Н. Скляревская в словаре «Лексика современного русского православия»  (СПб, 2016) пишет об ангелах так: 

«Третий чин третьего лика Небесной иерархии; духовные (бесплотные) существа, наделенные волей и разумом, вестники Бога, через которых Бог возвещает людям Свою волю. 

Ангелы были сотворены прежде человека и славословили Бога еще при сотворении видимого мира. Помимо Божиих Ангелов, существуют злые, отпавшие от Бога (в русской православной традиции написание «аггел»). См. также Аггел. Небесная иерархия. Падшие ангелы».

На современном этапе развития русского языка основа слова актер не членится на морфемы, т. е. состоит только из корня актер-. При образовании от него с помощью суффикса -ис- слова актриса гласная перед р выпадает. 

Исторически существительное актер связано со словом акт (фр. acte, нем. Akt, польск. akt от лат. ācta, actōrum «поступки, постановление») и восходит к лат. глаголу ago, ēgī, āctum «ходить», как и слова актив, актуальный, акция, реакция, реактив, реактор, агент, агитировать, реагент, реагировать. Но по смыслу в русском языке эти слова не связаны со словом актер, поэтому однокоренными их считать не следует. 

1. В третьем примере запятая не нужна. Если слово особенно стоит перед союзом в сложноподчиненном предложении, то запятая перед особенно ставится, а между особенно и союзом отсутствует. Что касается первых двух примеров, то возможны варианты пунктуации, обусловленные авторским замыслом. О пунктуации при словах вернее, точнее см. в «Справочнике по пунктуации» (примечание 3).

2. Правильно: белорус, белорусский, несмотря на то что сейчас официальное название государства – Республика Беларусь. Эти слова образованы от названия Белоруссия, продолжающего существовать в русском языке (пусть и не являющегося официальным). Написание беларус, беларусский по-русски невозможно.

Правильно: к Татьянину дню (о празднике 25 января), но к Татьяниному дню рождения.

Притяжательные прилагательные на -ин, -нин в современном русском языке склоняются по так называемому местоименному склонению (его первой разновидности), т. е. как местоимение мой: моего – Татьяниного, моему – Татьяниному и т. д. Однако за прилагательными, входящими в состав географических названий, наименований местностей, названий растений и цветов, а также за прилагательными, входящими в состав устойчивых сочетаний, закрепилось притяжательное склонение. В форме род. падежа оно имеет окончание -а (отцова сапога, тришкина кафтана, Татьянина дня) и в дат. падеже – окончание -у (отцову сапогу, тришкину кафтану, Татьянину дню).

Да, ударение в этом слове падает на ы.  Сослаться можно на любой нормативный словарь, в котором это слово зафиксировано. Например, на «Словарь ударений русского языка» И. Л. Резниченко (М., 2015) или на «Орфоэпический словарь русского языка» под редакцией Н. А. Еськовой (М., 2015). Если же и эти ссылки не убедят Ваших оппонентов (скажут, например: «Чего только в современных словарях не напишут!»), можете сослаться на словарь-справочник «Русское литературное произношение и ударение» под ред. Р. И. Аванесова и С. И. Ожегова (М., 1959), где тоже указано, что правильно только с ударением на ы.

Эти слова, безусловно, этимологически родственные, они восходят к одному и тому же корню (точнее – к старому глаголу прияти 'любить, благожелательно относиться'). Но в современном русском языке (именно на синхронном уровне) они уже не однокоренные, в них не выделяется приставка не, ведь слова приять и приязнь устаревшие, а значение слова неприятель не может быть объяснено через значение слова приятель (приятель – это близкий знакомый, а неприятель – это военный противник, враг, а не «человек, не являющийся близким знакомым»).  В «Морфемно-орфографическом словаре» А. Н. Тихонова в слове неприятель выделен корень неприятель-, а в слове неприязнь – корень неприязнь-.