Этот вопрос не регулируется правилами и нормами русского языка, поэтому для ответа на него мы связались со специалистами справочной службы ФГУП «Почта России». По их словам, название района в адресе писать необходимо – даже если населенный пункт, указанный в адресе, является центром этого района.

Корректно употребление предлога на: дом на холмах, провести лето на холмах.
Д. Э. Розенталь пишет, что употребление предлога в в пространственном значении связано с представлением об ограниченном пространстве, а при отсутствии этого значения употребляется предлог на (холмы — местность без точно очерченных границ). 

Если имеется в виду, что не позднее 10 числа должна быть произведена оплата (а не выставлен счет), то части предложения следует поменять местами: Оплата по настоящему Договору производится Заказчиком ежеквартально, не позднее 10 числа первого месяца расчетного квартала, авансовым платежом на основании выставленного счета.

Корректны оба варианта.
При этом Д. Э. Розенталь пишет, что при числительных двое, трое, четверо глагол-сказуемое со значением действия (не состояния) обычно употребляется в форме множественного числа: Двое рабочих в белых фартуках копались около дома (Чехов). 
Порядок слов не влияет на выбор формы сказуемого.
 

Этот вопрос спорный. Запятую ставят, обосновывая ее влиянием европейской эпистолярной традиции или рассматривая этикетную формулу как сложное предложение с неполными частями, например такое: Пишу с уважением к Вам, я Иванов Иван. 

Однако есть и иная интерпретация, которой соответствует отсутствие запятой: С уважением к Вам пишет Иванов Иван.

Не совсем так. Глагол пригвоздить имеет форму 1-го лица пригвозжу, она отмечается словарями (см. ресурс «Проверка слова»). У глаголов победить и убедить образование формы 1-го лица, как пишет А. А. Зализняк в «Грамматическом словаре русского языка», затруднено. Многие другие словари эти формы не фиксируют (см. там же). 

Судя по приведенным Вами ссылкам, "многие современные и старые словари" - это 22-е издание "Толкового словаря русского языка" С. И. Ожегова (и издание 1992 года)?

Но в этом словаре у "похудания" совсем иное значение - "появление худобы" (пример - болезненное похудание), а не "диета". Что оправданно.

Наименование «Госключ» корректно писать в кавычках. О написании наименования 1С см. в ответе на вопрос № 293757.

Правильно: Директор компании «Ромашка» интегрировал систему с «Госключом». Если компания свое наименование пишет без кавычек, то в кавычках останется только название «Госключ».

Как пишет А. Э. Мильчин в "Справочнике издателя и автора", в изданиях деловой и научной литературы предпочтительной (но не обязательной) является форма с одно- или двубуквенным наращением (100 %-й, 100 %-го): такая форма экономит место на листе и позволяет соблюсти единообразие в наращении падежных окончаний.