Астанский – устаревшая рекомендация. Название Астана относительно новое, и прилагательные от него образовывались разными способами. Эти колебания нашли отражение в словарях. Согласно словарю Е. А. Левашова «Географические названия» (СПб., 2000) от слова Астана образуются прилагательные астанинский и астанийский. Современный академический орфографический словарь фиксирует только вариант астанинский, который, по-видимому, получил более широкое распространение. Прилагательное астанайский закрепилось в церковной сфере. Официальные названия – Астанайская епархия и митрополит Астанайский.

Правило, на которое Вы ссылаетесь, – орфографическое. Оно регулирует только выбор гласной буквы в прилагательных на -нский, образованных от имен собственных.

Да, сочетание глагола "выздороветь" с предлогом "от" возможно, например: ...он как будто чувствует, что мне нужна помощь, что я еще не совсем выздоровел от своей прежней тяжкой болезни [М. Е. Салтыков-Щедрин. Противоречия (1847)]; Он почти выздоровел от ожогов [Л. А. Чарская. Записки институтки (1901)] и т. п.

Верно: близко к другому.

Следует поставить тире.

Между однородными членами предложения при пропуске противительного союза ставится тире.

Словообразовательный разбор

Схема разбора:

1)    Поставить исследуемое слово в начальную форму.

2)    К исследуемому слову подобрать производящее.

3)    Объяснить значение производного слова через значение производящего слова (слов).

4)    Выделить производящую и производную основы.

5)    В производном слове выделить средство словообразования.

6)    Указать способ словообразования и процессы, сопутствующие словообразованию.

Разбор слова поверье:

1)    поверье — начальная форма существительного;

2)    поверье ← поверить;

3)    поверье: ‘предание, основанное на суеверных представлениях, приметах, необычных явлениях чего-либо, в которое кто-либо поверил’;

4)     повери- — производящая основа, повер[j] — производная основа.

5)    средство словообразования — суффикс -j-, который на письме передается с помощью разделительного мягкого знака: повер[j-е];

Такое же словообразовательное средство с тем же значением используется при образовании других отглагольных существительных, например: бесчести-ть → бесчест[j-е] (бесчестье).

6)    способ словообразования — суффиксальный, при словообразовании происходит усечение производящей глагольной основы: повери-. 

Если необходимо разобрать слово по составу (морфемный разбор), то словообразовательный разбор дополняют:

1)    анализом всех словоизменительных морфем слова.

2)    анализом всех словообразовательных морфем в слове.

Для слова поверье при морфемном анализе нужно выделить:

1)    окончание -е, которое является окончанием им. падежа (или винит. падежа, если в такой форме слово стояло в предложении; формы именит. и винит. падежей у этого слова совпадают), ед. числа, ср. рода.

2)    Словообразовательную приставку по-, с помощью которой образовалось слово поверить от слова верить (способ словообразования — приставочный). Это глагольная приставка, которая образует глаголы совершенного вида от глаголов несовершенного вида, ср.: бить → по-бить, мирить → по-мирить и др.

Полный разбор по составу: по-вер-j-е

Пунктуация верна.

В приведенном предложении общим обстоятельством для двух грамматических основ является оборот с предлогом по завершении (не сам по себе предлог), а потому запятую действительно ставить не нужно: По завершении всех испытаний прозвучит поздравление от ведущего и будет объявлен победитель.

Пунктуация корректна. Сочетание такое чувство выражает чувства автора в связи с сообщением, то есть употреблено в функции вводного, а потому уместно его выделение запятыми. Тире фиксирует неполноту первой части сложного предложения.