Правильн: забирать ребенка из садика.
Выбор предлога зависит от контекста.
Правильно: пошив штор из тюля.
Трудно вообразить, чтобы официальное наименование ОАО было именно таким — "Им. Ленина". Хотя чего только не бывает на свете...
Корректно: Он пожелал (или пожалел, что более сомнительно) им успеха. Что касается второй части предложения, то для обсуждения ее корректности нужно знать контекст целиком.
Правильно: ехать с базы отдыха. Предлог из антонимичен предлогу в, а предлог с — предлогу на (на базу — с базы).
Использовать сочетание из черт его лица в этом предложении неправильно. Верно: ...исчезла с его лица.
Если имеется в виду город Тверской области Кимры, то верно: из Москвы, Кимр, Санкт-Петербурга.
Количественные числительные пишутся без наращений: в каждой из 4 зон. А если это не специальная или справочная литература, лучше писать словом: в каждой из четырех зон.
Верно: из неквашеной.
