В данном случае слово «Устав» пишется с прописной буквы, так как это сокращенное название конкретного документа. Такая практика сложилась в текстах официально-делового стиля. Например: Устав ООО "Ромашка", принятый на заседании правления ООО 13.05.203 (далее — Устав).
 

Такая проверка неправильна по двум причинам. Написание букв на месте безударных гласных проверяется теми словами и формами, где в той же значимой части слова (в том же корне, приставке, суффиксе, окончании) проверяемый гласный находится под ударением. В слове чистить, во-первых, представлен совсем другой суффикс, во-вторых, он безударный. Чтобы правильно писать слова чистенький, старенький, слабенький и т. п., надо просто запомнить, что в современном литературном языке суффикса -иньк- нет, есть суффиксы -еньк- и -оньк-.

Слово неукоснительно описывается как имеющее корень с чередованием именно потому, что в нем есть корень с чередованием. Правило таково: в корне кас/кос пишется а в словах с суффиксом -а-, в остальных случаях пишется о. Слова с корнем кас-: касаться, прикасаться, соприкасаться, касание, касательная, касательно, касательство, прикасание. Слова с корнем кос-: коснуться, неукоснительный, прикосновение, неприкосновенный, неприкосновенность, соприкосновение, соприкоснуться, соприкосновенный.

В слове коса (с.-х. орудие) представлен омонимичный корен кос-, в нем нет чередования. 

Слово путем фиксируется в словарях и грамматиках как производный отымённый предлог, а слово методом — нет. Это связано с тем, что форма существительного путем в конструкциях с последующим род. падежом в большинстве контекстов:

1)  утратила лексическое значение, свойственное существительному путь и используется для выражения значения абстрактного отношения между главным словом и зависимой формой родительного падежа: подтвердить (главное слово) путем референдума (зависимое слово); сформировать (главное слово) путем выборки (зависимое слово) и т. п.

2) при выражении абстрактного значения отношения теряет морфологические признаки существительного (не может изменяться по числам и падежам);

3) не является самостоятельным членом предложения, входит в предложно-падежную конструкцию вместе с последующей формой род. падежа.

Например:

Модель может быть расширена путем добавления новых элементов.

Модель может быть расширена путем добавления новых элементов и замены деталей корпуса.

Словоформа методом сохраняет значение существительного метод и способность к словоизменению, является самостоятельным членом предложения, а по отношению к последующему род. падежу выступает в качестве главного слова в словосочетании.

Состав наносплава определяли методом просвечивающей микроскопии.

Состав наносплава определяли методами просвечивающей и сканирующей микроскопии.

Для сравнения приведем контекст, в котором словоформа путем остается существительным (не является предлогом), так как сохраняет значение существительного путь и выполняет функцию члена предложения:

У нас появилась уникальная возможность попасть на озеро Байкал путем первооткрывателей.

Такое задание в высшей степени некорректно, поскольку лучшие лингвисты-синтаксисты готовы полемизировать по поводу ответа. Но предпочтительным является вариант с включением слова капитан в состав подлежащего. Это слово (капитан) стало бы приложением к имени, если бы оказалось в постпозиции (где станет обособленным: Себастьян Кабот, испанский капитан...). Мы бы за такие задания (вернее, за умысел засчитать как ошибку включение / невключение капитана в состав подлежащего) отправляли в Южную Америку по следам капитана без обратного билета.

Проблема ведь еще и в том, что испанский — определение именно к капитану, а не к имени и не к сочетанию капитана и имени, иначе получится, что подразумевается, будто был испанский капитан Себастьян Кабот, а был еще, скажем, и португальский капитан Себастьян Кабот. Но тогда и это определение нужно включать в подлежащее, что уже совсем странно. Так что мы бы в конечном счете пришли к выводу, что подлежащее — капитан, а его имя — приложение к нему (такие приложения обособлять не обязательно). Но ни на одном сайте, о которых Вы упоминаете, оно не предусмотрено. Хотя любому человеку, хотя бы раз пытавшемуся разобраться с приложениями, известно, что в сочетаниях нарицательного и собственного имен приложением может быть и то, и другое, причем при одном и том же порядке слов. История с приложениями вообще крайне запутанна, противоречива и, по сути, теоретически не разработана.

К сожалению, на "синхронном" уровне выявить беглую гласную в корне слова иностранные студенты могут, только обратившись к словарю. Беглая гласная О характерна для слов, пришедших из древнерусского языка (т. е. для весьма значительной, подавляющей части исконно русских слов), и нехарактерна для "новых" и заимствованных слов (например, слово бифидок склоняется без выпадения гласной, слово альпеншток - также). Беглую гласную Е можно обнаружить в некоторых суффиксах, например -ЕК (замочек - замочка). Беглыми в русском языке бывают только гласные Е и О.

1. Дело в том, что  лексическая сочетаемость не всегда объяснима с точки зрения значения отдельных слов. Сочетание «коричневые волосы» не употребляется в языке, также как, например, сочетание «карие носки».
2. Форма родительного падежа множественного числа: (нет) волос (ударение на второй слог). Употребление формы волос (ударение на первый слог; форма родительного падежа: (нет) волоса) в значении 'волосы' допустимо только в разговорной речи. Таким образом, общеупотребительное: цвет волос, допустимое в разговорной речи: цвет волоса.

Корректно: 1. А те, кто с таким воодушевлением сунул меня в реку, могут понять: их враг все-таки выжил. 2. Мне не нужно многого. Всего лишь чтобы он был согласен пойти со мной. 3. Только вот, встав у зеркала, я на миг замер. / Только вот встав у зеркала, я на миг замер. (Пунктуация зависит от смысла: от того, к какой глагольной форме (замер или встав) относится сочетание только вот.)

Лествица – слово старославянского языка, оно происходит от общеславянского *lestva, образованного от глагола lezti с помощью суффикса -tv-. Интересно, что в словенском языке до сих пор существует слово lestva 'лестница'.

Лестница – русское слово, оно встречается в памятниках письменности с XIV века. Русское лестница возникло на базе старославянского лествица под влиянием существительных на -ниц(а), ср.: звонница, кузница и т. п. Еще более поздним образованием является слово лесенка, с корнем лес-. С вместо З в корне перед гласным звуком возникло, вероятно, под влиянием слова леса (строительные).