«Русский орфографический словарь» Российской академии наук (М., 2012) фиксирует написание Фонтанный дом.
Эта словарная рекомендация - из актуального "Русского орфографического словаря" Российской академии наук.
Как собственное наименование объекта в Сочи - с большой буквы: Олимпийский парк.
Корректно: парк "Лосиный Остров".
Корректно (в разговорной речи): экскурсия на природу. Но: экскурсия в лес, в парк.
Это некорректная формулировка. Обычное употребление: диплом кого-либо (лауреата, призера, победителя; врача, инженера, кандидата наук...).
В предложении "Принято решение закрыть городской парк" знаки препинания внутри фразы не требуются.
Звания пишутся со строчной буквы, ср.: заслуженный деятель культуры, лауреат Нобелевской премии, доктор наук, профессор, член-корреспондент.
Запятые не нужны. Запятыми отделяются однородные наименования ученых степеней и ученых званий: доктор филологических наук, профессор.