Правильно: в городе Иваново. Если нет слова город, тогда: в Иванове (предпочтительно) и в Иваново (допустимо). См. «Азбучные истины».
Такое употребление некорректно. Правильно: следующий год.
Это фразеологические сочетания, кавычками их выделять не нужно.
Сочетание в лесу отвечает на вопрос где? и является обстоятельством.
См. ответ на вопрос № 314440.
Слово дитя в единственном числе в косвенных падежах имеет формы дитяти и дитятей. Это современная литературная норма, других вариантов нет.
Перенос ударения на предлог возможен тогда, когда сочетание существительного с предлогом входит в состав устойчивого оборота или когда оно выступает в роли обстоятельства. Когда же существительное называет объект, на который направлено действие, то есть когда оно является дополнением, ударение на предлог не переносится. Например:
поверить на́ слово, но: обратить внимание на сло́во «заря»;
он не чист на́ руку, но: посмотреть на ру́ку;
взять грех на́ душу, но: доход на ду́шу населения.
Фразеологизмы обладают устойчивостью грамматической формы. Они обладают также устойчивостью места ударения. Произнесение данных фразеологизмов с ударением на существительном, а не на предлоге является ошибкой.
В предложениях же, приведенных в вопросе, в сочетаниях по лесу, по столу, по двору возможны варианты ударения, ни один из которых нельзя считать ошибочным. Выбор варианта может зависеть от контекста.
Запятая не ставится. См. о таких случаях «Справочник по русскому языку. Пунктуация» Д. Э. Розенталя, примечание 1 к параграфу 48.
