В обоих случаях значения производные (переносные), поскольку бежать в прямом значении - "быстро продвигаться в определённом направлении, попеременно отталкиваясь ногами от земли". Для уточнения используйте толковые словари (прямое значение всегда представлено под номером 1).

Такое бывает: новые слова первое время могут испытывать колебания в написании, что отражается словарями. Общее правило для подобных случаев: главный словарь, по которому мы определяем написание слова, – орфографический. Правильно: рэпер (как в орфографическом словаре). 

Вопрос в корректности использования формы множественного числа? Она возможна, если отвечает стилистическим задачам автора. Ср. у Осипа Мандельштама:

Только на крапивах пыльных —
Вот чего боюсь —
Не позволил бы в напильник
Шею выжать гусь.

Если фамилия оканчивается на ударное ИЦ и при этом ударение в косвенных падежах переходит на окончание, то в творительном падеже пишется ОМ (что на практике бывает редко). При безударном окончании пишется ЕМ: со Штирлицем, с Лифшицем.

Такое начало неудачно для делового письма. Если адресат известен, то нужно именовать его: Уважаемый Иван Иванович! Если имя неизвестно (что бывает реже), то указать должность: Уважаемый господин председатель! При обращении к нескольким лицам "Уважаемые господа!" - корректно.

Слово неурожайность зафиксировано «Русским орфографическим словарем» под редакцией В. В. Лопатина и О. Е. Ивановой. Урожайность — это способность давать урожай, ничто не мешает образованию от этого слова антонима с приставкой не- (ср. способность / неспособность).

Это выражение употребляется (часто с неодобрительным оттенком) по отношению к  людям чудаковатым, необычным, резко выделяющимся среди других. Восходит к 7-й сатире римского поэта Ювенала:

Рок дает царства рабам, доставляет пленным триумфы.
Впрочем, счастливец такой реже белой вороны бывает.

Вспомните об исключениях: гнать, держать, дышать, зависеть... Все приставочные образования от этих глаголов тоже являются исключениями. Держать входит в число исключений, в  личных окончаниях пишется И (держит), поэтому тот же гласный пишется и в личных окончаниях глагола содержать.

Названия мероприятий бывают разные, соответственно и оформляются они по-разному. Если сочетание осенний бал называет именно бал (большой праздничный вечер с танцами), то кавычки не нужны. Написать это сочетание нужно с заглавной буквы, если ему придается статус официального названия мероприятия.