Вершининская средняя общеобразовательная школа – реальное собственное имя (не условное наименование). Такие имена собственные пишутся без кавычек, например: Вершининская средняя общеобразовательная школа основана в ... году. Однако если реальные собственные имена употребляются в сочетании с родовым наименованием (чаще всего – обозначением организационно-правовой формы), они заключаются в кавычки. Правильно: МОУ «Вершининская средняя общеобразовательная школа». См. подробно в «Письмовнике»: Как правильно употреблять кавычки (часть вторая).
Название в кавычках не изменяется: предоставить ГБУ «Спортивная школа»...
Московская электронная школа как название организации, электронного ресурса, проекта правильно писать с заглавной буквы. Но теоретически это сочетание может быть использовано и не как название, тогда его нужно писать со строчной буквы.
Невозможно ответить на этот вопрос без контекста. Контекст, ситуация общения могут допускать использование подобных слов по отношению к взрослому человеку. Например, для выражения нежности, сочувствия, интимности, для придания разговору игривого оттенка, для создания определенного стилистического эффекта и т. д.
Запятая не нужна.
Употребительнее: окончил школу.
При аббревиации тире опускается: МОУ ООШ села Семеновка.
Названия учреждений следует писать с маленькой буквы во всех перечисленных случаях. Варианты во второй школе, в тридцатой поликлинике встречаются в разговорной речи.
Предложение построено неудачно, так как может быть воспринято буквально. Можно вставить в предложение имя: Пока Иван Иванович, правая рука начальника, встречал гостей...
