Можно писать «вручили орден семье погибшего героя». Глагол вручить имеет значение "совершить передачу чего-л. непосредственно, лично кому-л. из рук в руки" и употребляется в случаях, когда подчёркивается либо акт передачи, либо важность передаваемого предмета.
При слове семья нерусская фамилия обычно сохраняет форму единственного числа: семья Кобзарь.
Правильно: семь девушек; собирательные числительные (семеро) не употребляются с существительными женского рода, называющими лиц.
Верно: семья Балицевич.
Союз "и" использовать не нужно.
При слове семья иноязычная фамилия обычно ставится в форме единственного числа: письмо от семьи Тициан.
Правильно: он стал избегать семьи.
Кавычки не нужны. Употребление слова здоровый в приведенных Вами сочетаниях вполне устоялось и фиксируется в словарях.
