Верно: (жить) в районе.
Если Многофункциональный центр предоставления государственных услуг района Лефортово является одним из органов ЗАГС Москвы, то корректно: Органом ЗАГС Москвы № 127 «Многофункциональный центр предоставления государственных услуг района Лефортово».
Приведенного контекста недостаточно для того, чтобы определить, ставится ли запятая. Постановка запятой зависит от строя всего предложения.
Правильно: Жулебино (не Жулёбино).
Возможны оба варианта. В документах уместно написание с прописной буквы для выделения этого сочетания как наименования. В других сферах предпочтительно его писать со строчной как родовое обозначение.
Воспользуйтесь окном «Искать на Грамоте».
Верно: в районе.
Название Фили склоняется (вспомните: совет в Филях). Правильно: выехать из Филей.