Предпочтительно: носков, но допустимо и носок (прежде этот вариант запрещался).
Тире в этих предложениях возможно.
Вы привели разные по сути примеры. В предложении Мы писали сочинение на тему «Как я провёл лето» слово тема обозначает и заголовок сочинения, поэтому формулировка темы заключается в кавычки (обратите внимание, что двоеточие здесь не нужно, «Как я провёл лето» — это приложение к существительному тема). В предложении Автор ставит проблему: какой опыт приобретает молодой человек, служа в армии? формулировка проблемы не требует заключения в кавычки, если это не дословная цитата из анализируемого текста.
Если это вопросительное предложение, указанная запятая не нужна.
Запятая поставлена правильно.
В зависимости от смысла двоякое написание. При утверждении отрицательного признака предпочтительно слитное написание.
Если речь действительно идет о проблеме проявления такого качества человека или группы людей, как бескорыстность, то считать фразу ошибочной нет оснований.
