Инфинитив может быть только отгулять. Глаголов *отгулить, *отгулеть и проч. не существует. Если инфинитив оканчивается на -ать/-ять, причастие или отглагольное прилагательное оканчивается на -анный/-янный: отгулянный отпуск.
Правильно: Уеду в отпуск, но ненадолго.
См. в Письмовнике.
Предложение написано правильно, никакие знаки препинания (кроме точки в конце) в нем не нужны.
Запятая ставится.
Формы второго предложного падежа (местного падежа, или локатива) с окончанием -у имеют только некоторые существительные мужского рода второго склонения: о саде и в саду, о рае и в раю, о снеге и в снегу, но о сугробе и в сугробе, о сундуке и в сундуке и т. д. Но форма предложного падежа с окончанием -у для слова отпуск (в отпуску) тоже допустима, хотя не так распространена и имеет стилистические особенности (она разговорная). См. также наши ответы на вопросы № 263338 и 325842.
См. в «Письмовнике».
Верно: о предоставлении.
Корректно: ...предоставить отпуск на с 01.02.08 по 03.02.08 за счет дней отпуска, не использованных в 2007 году.
