Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
О падеже: нужен творительный падеж (музеем). Слова заведующий, управляющий, командующий и т. п., по своему происхождению являющиеся причастиями, управляют творительным падежом.
Что касается рода, то мужской род уместен в строгой деловой речи (в приказе: назначить заведующим музеем Иванову...). В обиходной письменной и тем более устной речи верно: заведующая музеем.
Оба варианта возможны.
Заведующая. Но допустимо в некоторых текстах и заведующий.
Не нужна запятая перед словом "профессор".
Верно: согласно приложению, заведующий отделом.
Правильно: управляющий филиалом. Такие слова, как заведующий, управляющий, командующий (т. е. существительные, произошедшие из причастий), управляют творительным падежом.
Есть грамматическая ошибка. Правильно: заведующий типографией.
Верно: заведующий международным отделом.
Правильно: заведующий терапевтическим отделением.
