Произведем несложный синтаксический разбор. Главное слово сочетания — день, от него задаем вопросы к зависимым словам и ставим их в нужную форму: день чего? — рождения, день какой? — красивый. Итог: красивый день рождения. О склонении сочетания день рождения см. ответ на вопрос № 249988.
Правильно: В преддверии Нового года компания «Мегафон» для своих сотрудников провела корпоративный выходной... Написание предлога в преддверии чего-либо надо запомнить.
Сотрудники, судя по всему, назначаются для обеспечения доступа (в помещение), а потому нужно использовать форму родительного падежа: Прошу Вас назначить ответственных сотрудников для участия в обследовании жилого помещения и обеспечения доступа (вскрытие входной двери) по вышеуказанному адресу.
Строчными: день рождения города.
В толковых словарях русского языка слово будень отмечено как устаревшее и просторечное (о чем и должен сообщать ответ справочной службы). Стилистические особенности слова иллюстрируются цитатами из художественных произведений: «Ведь ты знаешь, что в будень мне некогда, я занят; в воскресенье, если погода будет хороша, пожалуй, съездим» [А. Н. Анненская. Мои две племянницы (1882)]; «Упражнять вас в этом чувстве мы по-настоящему должны всегда, в будень и в праздник» [А. П. Чехов. Праздничные (1884–1885)]; «Приехала с мужем, в будень, в четыре часа, нарядная, любезная, благоухающая сладкою фиалкою...» [Ф. К. Сологуб. Мелкий бес (1902)].
См. ответ № 229433.
Правильно строчными: день рождения.
