Для определения значения фразеологических выражений необходимо обращаться к фразеологическому словарю (иногда значения фразеологизмов приводятся и в толковых словарях). Например:
Большой толковый словарь русского языка
Найти общий я. с кем-л. (достичь взаимопонимания; договориться о чём-л.); Язык без костей у кого. О болтливом человеке; Дать волю языку разг. – начать говорить что-л. не стесняясь, не сдерживая себя.
Такой оборот возможен в разговорной речи.
В этом случае допустимы два варианта: большинство студентов сдало экзамен и большинство студентов сдали экзамен. Собирательным существительным является не слово студентов, а слово большинство. См. в «Письмовнике»: Единственное и множественное число сказуемого.
Ваш вариант не противоречит правилам пунктуации, однако традиционна постановка запятой.
Знаки препинания расставлены верно.
Запятая не ставится.
Да, запятая нужна для отделения деепричастного оборота.
Нет, это не принято, так как грамота ― официальный документ, устанавливающий или удостоверяющий что-л.
Употребление корректно.
